Cho \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\) và \(0 <...

D

- Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x.\cos x =  - \frac{3}{8}\)

Áp dụng định lý Vi-ét đảo ta có hai số \(\sin x,\cos x\) là hai nghiệm của phương trình

\({X^2} - \frac{1}{2}X - \frac{3}{8} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\
X = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}
\end{array} \right.\)

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 0 < \sin x < 1 \Rightarrow \sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\) là nghiệm cần tìm.