Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + d = 0, (a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0)$ đi qua điểm B(1;0;2) , C(-1;-1;0) và cách A(2;5;3) một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $M = \frac{a + c}{b + d}$ là

A. $M = 1$

B. $M = \frac{3}{4}$

C. $M = - \frac{2}{7}$

D. $M = - \frac{3}{2}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $\vec{B C} = (- 2; - 1; - 2)$ nên phương trình đường thẳng BC là $\{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = - t (t \in ℝ) \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$ .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) . Khi đó $A H = d (A; (P)) \leq A I$ và AH đạt giá trị lớn nhất khi $H \equiv I$ . Suy ra mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với AI.

Từ $I \in B C \Rightarrow I (1 - 2 t; - t; 2 - 2 t)$ và $\vec{A I} = (- 1 - 2 t; - t - 5; - 1 - 2 t)$ .

Lại có $A I ⊥ B C \Leftrightarrow \vec{A I} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow 2 (1 + 2 t) + (t + 5) + 2 (1 + 2 t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ .

Mặt phẳng (P) đi qua I(3;1;4) và nhận VTPT là $\vec{A I} = (1; - 4; 1)$ nên có phương trình tổng quát là: $x - 4 y + z - 3 = 0$ .

Vậy $a = 1, b = - 4, c = 1, d = - 3 \to M = \frac{1 + 1}{- 4 - 3} = - \frac{2}{7}$ .

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0,a2+b2+c2>0 đi qua điểm B(1;0;2) , C(-1;-1;0) và cách A(2;5;3) một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức M=a+cb+d là

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + d = 0, (a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0)$ đi qua điểm B(1;0;2) , C(-1;-1;0) và cách A(2;5;3) một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $M = \frac{a + c}{b + d}$ là