Cho hai đường tròn (O ; 6cm) và (O’; 4cm) tiếp xúc...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

Câu a: Sử dụng tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh M là TĐ của BC.

+) Sử dụng tính chất tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh có đường trường trung tuyến đó là tam giác vuông.

Câu b: Áp dụng định lý mối quan hệ giữa đường kính và dây cung: Đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây đó tại trung điểm.

+) Chứng minh tứ giác có 3 góc vuông thì tứ giác đó là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Câu c: Ta có O’C//OB nên \(\frac{O'I}{OI}=\frac{O'C}{OB}\Rightarrow OI=....\)

Câu d: Chứng minh tam giác ONO’ là tam giác vuông. Sau đó suy ra được đpcm.

Giải chi tiết:

a)

- Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MB = MC nên M là trung điểm BC.

- Tam giác ABC có AM =1/2 BC nên vuông tại A.

b)

 - Vì MA và MB là tiếp tuyến của (O) nên  \(OM\bot AB.\)

- Vì MA và MC là tiếp tuyến của (O’) nên  \(O'M\bot AC\)

Xét tứ giác PMQA ta có: \(\widehat{MPQ}=\widehat{PAQ}=\widehat{AQM}={{90}^{0}}\,\,\left( cmt \right)\)

- Suy ra được APMQ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

c)

- Ta có: \(A{{M}^{2}}=AO.AO'=6.4=24\Rightarrow AM=2\sqrt{6}\,\,\,cm\Rightarrow BC=4\sqrt{6}\,\,cm\)

- Theo Talet: \(\frac{IO'}{IO}=\frac{O'C}{OB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{IO-IO'}{IO}=\frac{3-2}{3}\Rightarrow \frac{10}{IO}=\frac{1}{3}\Rightarrow IO=30cm\)

d)

- Chứng minh được \(\widehat{\text{ONO}'}={{90}^{0}}\)

Xét tam giác EBF có: O là trung điểm của BE; N là trung điểm của EF.

\(\Rightarrow \) ON  là đường trung bình của tam giác EBF.

\(\Rightarrow ON//BF\,\,\,\) và \(ON=\frac{1}{2}BF\)  (t/c đường trung bình).

Chứng minh tương tự ta có \(O'M//BF;\,\,\,\,O'M=\frac{1}{2}BF\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & O'M=ON=\frac{1}{2}BF \\  & \widehat{MON}=\widehat{OMO'}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) tứ giác OMO’N là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết).

\(\Rightarrow \widehat{ONO'}={{90}^{0}}\) hay tam giác ONO’ vuông tại N.

Gọi K trung điểm của OO’, khi đó K là giao điểm của NM và OO’; K là trung điểm của MN (hai đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

\(\Rightarrow \) 4 điểm O; M; O’; N cùng thuộc đường tròn tâm K bán kính KN.

Hay tam giác OO’N nội tiếp đường tròn tâm K.

Ta có thể chứng minh KN là đường trung bình của hình thang BCO’O

\(\Rightarrow MK\bot BC\Rightarrow \) BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm K hay BC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OO’N.      (đpcm).