Giá trị nhỏ nhất của \(y=3{{x}^{2}}-4x+2\) là:

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức đã cho thành phương trình bậc hai với ẩn \(x\) và tham số \(y\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm suy ra GTNN của \(y\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\)

Phương trình \(y=3{{x}^{2}}-4x+2\) có nghiệm khi và chỉ khi \(3{{x}^{2}}-4x+2-y=0\) có nghiệm.

Khi đó ta có: \(\,\,\,\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{2}^{2}}-3.\left( 2-y \right)\ge 0\Leftrightarrow 4-6+3y\ge 0\Leftrightarrow -2+3y\ge 0\Leftrightarrow y\ge \frac{2}{3}\)

Với \(y=\frac{2}{3}\) thì phương trình \(y=3{{x}^{2}}-4x+2\) trở thành 

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 4x + 2 - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 8x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{4}{3}x + \frac{1}{6} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{1}{6} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{{15}}{{36}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt {15} }}{6}\\x = \frac{2}{3} - \frac{{\sqrt {15} }}{6}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y=3{{x}^{2}}-4x+2\) là \(\frac{2}{3}\) đạt được tại \(x=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{15}}{6}\) hoặc \(x=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{15}}{6}.\)

Chọn đáp án A.