Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=x+\sqrt{1-{{x}^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Bình phương hai vế của \(Q\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Bình phương hai vế của \(Q\) ta nhận được\({{Q}^{2}}={{\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\left( 1-{{x}^{2}} \right)+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1+2\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\sqrt{{{x}^{2}}},\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) ta nhận được

\(\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}\le \frac{{{x}^{2}}+\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{2}=\frac{1}{2}.\) Do đó

\({{Q}^{2}}\le 1+2.\frac{1}{2}=2\Rightarrow Q\le \sqrt{2}\) ở đây do \(Q=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}>0.\)

Giá trị lớn nhất đạt được tại 

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \\0 \le x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1 - {x^2}\\0 \le x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Chọn đáp án A.