Số nghiệm của phương trình \({{2}^{{{\log }_{5}}\l...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, sử dụng phương pháp hàm số tìm nghiệm phương trình hoặc bấm máy

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x>-3\)

Đặt \(t={{\log }_{5}}\left( x+3 \right)\)\(\Rightarrow x={{5}^{t}}-3\), phương trình đã cho trở thành

\({{2}^{t}}={{5}^{t}}-3\)\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}+3={{5}^{t}}\)\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{t}}+3.{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{t}}=1\)              (1)

Dễ thấy hàm số \(f\left( t \right)={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{t}}+3.{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{t}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right)=1\) nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(t=1\). Với \(t=1\), ta có \({{\log }_{5}}\left( x+3 \right)=1\)\(\Leftrightarrow x=2\). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\).

Chọn B