Nghiệm của phương trình:\(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa.

Tiếp theo,ta phân tích biểu thức trong dấu căn \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \)=\(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} \), rồi đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {4 - x} \left( {t \ge 0} \right)\).

 Khi tìm được giá trị của \(t\) ta thay ngược lại để tìm \(x\).

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\4 - x \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \le 4\\- 1 \le x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 4.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 1}  + \sqrt {4 - x}  + \sqrt { - {x^2} + 3x + 4}  = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  + \sqrt {4 - x}  + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}  = 5\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {4 - x} \left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = x + 1 + 4 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}  \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}  = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\\\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow t + \frac{{{t^2} - 5}}{2} = 5\\\Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 4\\t + 1 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t = 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 1}  + \sqrt {4 - x}  = 3\\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}  + 4 - x = 9\\\Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 3x + 4}  = 2\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 3x + 4 = 4\\\Leftrightarrow  - {x^2} + 3x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 0\) và \(x = 3.\)

Chọn A .