Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta tìm điều kiện các định của x và y.

- Ta thấy đây là hệ phương trình đối xứng loại 1, áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.

Giải chi tiết:

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4\\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4\end{array} \right.\left( {x \ne 0,y \ne 0} \right)\left( * \right)\)

Đặt:\(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = u\\y + \frac{1}{y} = v\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {u^2} - 2\\{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}} = {v^2} - 2\end{array} \right.\)  , khi đó hệ phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\{u^2} - 2 + {v^2} - 2 = 4\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\{u^2} + {v^2} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\uv = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4 - v\\\left( {4 - v} \right)v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4 - v\\4v - {v^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4 - v\\{\left( {v - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 2\\y + \frac{1}{y} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 = 0\\{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là \(\left( {x,y} \right) = \left( {1; 1} \right)\)

Chọn D.