Tìm giá trị của tham số \(k\) để \(2\)  phương trì...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) chính là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & 2{{x}^{2}}+\left( 3k+1 \right)x-9=0 \\  & 6{{x}^{2}}+\left( 7k-1 \right)x-19=0 \\ \end{align} \right.\)   (I)

Lấy \(3\times \left( 1 \right)-\left( 2 \right)\)  để còn lại phương trình bậc nhất với ẩn \(x\) và tham số \(k\)

Rút \(k\) theo \(x\) rồi thay vào phương trình (1).

Biện luận phương trình sau khi thay theo tham số \(k\).

Giải chi tiết:

Cách giải:

Nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) chính là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}+\left( 3k+1 \right)x-9=0 \\  & 6{{x}^{2}}+\left( 7k-1 \right)x-19=0 \\ \end{align} \right.\)   (I)

Lấy \(3\times \left( 1 \right)-\left( 2 \right)\) ta được phương trình: \(3\left( 3k+1 \right)x-27-\left( 7k-1 \right)x+19=0\Leftrightarrow \left( k+2 \right)x=4\)

\(\circ \) Nếu \(k+2=0\Leftrightarrow k=-2\) ta được

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-9=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{97}}{4}\)

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-15x-19=0\Leftrightarrow x=\frac{15\pm \sqrt{681}}{12}\)

Nghiệm của \(2\)  phương trình khác nhau nên \(k=-2\)  không phải giá trị cần tìm.

\(\circ \) Nếu \(k+2\ne 0\Rightarrow x=\frac{4}{k+2}\)

Thay \(x=\frac{4}{k+2}\) vào phương trình (1) ta được: \(\frac{32}{{{\left( k+2 \right)}^{2}}}+\frac{4\left( 3k+1 \right)}{k+2}-9=0\)

\(\Leftrightarrow 32+4\left( 3k+1 \right)\left( k+2 \right)-9{{\left( k+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 32+4\left( 3{{k}^{2}}+7k+2 \right)-9\left( {{k}^{2}}+4k+4 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 32+12{{k}^{2}}+28k+8-9{{k}^{2}}-36k-36=0\Leftrightarrow 3{{k}^{2}}-8k+4=0\)

\(\Leftrightarrow \left( k-2 \right)\left( 3k-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & k=2 \\  & k=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\) (Thỏa mãn \(k\ne -2\) )

   \(\bullet \) Với \(k=2\)  thay vào phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

\((1)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+7x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\  & x=-\frac{9}{2} \\ \end{align} \right.\)

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+13x-19=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=-\frac{19}{6} \\ \end{align} \right.\)

Vậy với \(k=2\) thì \(2\)  phương trình có nghiệm chung \(x=1\)

 \(\bullet \) Với \(k=\frac{2}{3}\)  tương tự ta tìm được \(2\)  phương trình có nghiệm chung là \(x=\frac{3}{2}\)

Chọn C.