Cho \(a,\,b,\,c\) dương và: \({a^4}{b^4} + {b^4}{c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta sẽ áp dụng bất đẳng thức phụ sau là 1 biến thể của bất đẳng thức Cô-si :

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng vào bài toán ta có ngay :

\(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{a^3}b + 1}} + \frac{1}{{2{c^2}}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{{{a^3}b}}} \right) + \frac{1}{{8{c^2}}} = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{{{a^3}b}} + \frac{2}{{{c^2}}} + 1} \right)\)

Hơn nữa theo bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} \ge 4\sqrt[4]{{\frac{1}{{{a^{12}}{b^4}}}}} = 4\frac{1}{{{a^3}b}}\\\frac{1}{{{c^4}}} + 1 \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{c^4}}}}  = \frac{2}{{{c^2}}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{a^4}}} + \frac{1}{{4{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}} + 2} \right).\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{b^4}}} + \frac{1}{{4{c^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + 2} \right)\\\frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{c^4}}} + \frac{1}{{4{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + 2} \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta có : \(VT \le \frac{1}{{16}}\left[ {2\left( {\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}}} \right) + 6} \right] = \frac{3}{4}.\)

(Do theo giả thiết ta dễ dàng suy ra : \(\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}} = 3.\)).

Dấu “=”  xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^4}}} = 1\\\frac{1}{{{b^4}}} = 1\\\frac{1}{{{c^4}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1.\)

Vậy \(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{3}{4}.\)