Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, \(AB < AC\), n...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Tứ giác có hai đỉnh nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta ACD\;\;\left( {g - g} \right)\)  (g.g) từ đó suy ra đpcm

c) Chứng minh \(\Delta EIH\) cân tại \(I\) bằng cách chứng minh 2 góc ở đáy bằng nhau từ đó suy ra hai cạnh bên bằng nhau.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng tứ giác AEHB nội tiếp

Tứ giác AEHB có:

\(\begin{array}{l}\angle AEB = {90^0}{\rm{ }}(BE \bot AD)\\\angle AHB = {90^0}{\rm{ }}(AH \bot BC)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đỉnh E, H của tứ giác AEHB cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc vuông

\( \Rightarrow \) Tứ giác AEHB nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh rằng \(AH.DC = AC.BH\)

Ta có C thuộc đường tròn (O) đường kính AD

\( \Rightarrow \angle ACD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\angle AHB = \angle ACD\,\,\,\,( = {90^o})\)

\(\angle ABH = \angle ADC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta ACD\;\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}} \Rightarrow AH.DC = AC.BH\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(IH = IE\)

Ta có tứ giác AEHB nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle BAD = \angle EHI\) (tính chất)

Mặt khác \(\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BOD\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

\( \Rightarrow \angle EHI = \frac{1}{2}\angle BOD\;\;\left( 1 \right)\)

Lại có: \(IB = IC\;\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot BC \Rightarrow \angle BIO = \angle BEO = {90^o}.\)

\( \Rightarrow \) Đỉnh E,I của tứ giác BIEO cùng nhìn cạnh BO dưới 1 góc vuông

\( \Rightarrow \) Tứ giác BIEO nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle EIC = \angle BOD\) (tính chất)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EHI = \frac{1}{2}\angle EIC \Rightarrow \angle EIC = 2\angle EHI\)

Mà \(\angle EIC = \angle EHI + \angle IEH\) (góc ngoài \(\Delta EIH\))

\( \Rightarrow \angle EHI = \angle IEH\)

\( \Rightarrow \Delta EIH\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow IH = IE\) (đpcm).