Cho hình chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = {90^0};\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính độ dài các cạnh AB, BC, CA và chứng minh tam giác ABC vuông tại B bằng định lí Py-ta-go đảo.

+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác tính độ dài các cạnh.

Giải chi tiết:

Tam giác SAB vuông cân tại S nên \(AB = SA\sqrt 2  = a\sqrt 2 \)

Tam giác SBC đều nên \(BC = SB = a\)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác SAC ta có:

\(AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2} - 2.SA.SC.cos\widehat {ASC}}  = a\sqrt 3 \)

Nhận xét rằng \(A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} + {a^2} = 3{a^2} = A{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của AC \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) nên \(SI \bot \left( {ABC} \right)\)

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(BH \bot AC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SI\left( {SI \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = BH\)

Xét tam giác vuông ABC có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{A^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\) 

Chọn D.