Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho mặt cầ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{{x - 6}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\) đi qua \(A\left( {6;\,\,2;\,\,2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 3;\,\,2;\,\,2} \right).\)

Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm có dạng: \(x + By + Cz + D = 0.\)

Ta có: \(M\left( {4;\,\,3;\,\,4} \right) \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 4 + 3B + 4C + D = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\left( P \right)//\Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\) \( \Leftrightarrow  - 3 + 2B + 2C = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) \( \Rightarrow d\left( {I;\,\,\left( P \right)} \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2B + 3C + D} \right|}}{{\sqrt {1 + {B^2} + {C^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {1 + 2B + 3C + D} \right| = 3\sqrt {1 + {B^2} + {C^2}} \,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3B + 4C + D =  - 4\\2B + 2C = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{{3 - 2B}}{2}\\D = B - 10\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 3 \right) \Leftrightarrow \left| {1 + 2B + \frac{{3\left( {3 - 2B} \right)}}{2} + B - 10} \right| = 3\sqrt {1 + {B^2} + {{\left( {\frac{{3 - 2B}}{2}} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{2 + 4B + 9 - 6B + 2B - 20}}{2}} \right| = 3\sqrt {\frac{{4 + 4{B^2} + 9 - 12B + 4{B^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow \left| { - 9} \right| = 3\sqrt {8{B^2} - 12B + 13} \\ \Leftrightarrow \sqrt {8{B^2} - 12B + 13}  = 3\\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 12B + 13 = 9\\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 12B + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{2}\\D =  - 9\end{array} \right.\\B = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1\\D =  - \frac{{19}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{P_1}} \right):\,\,\,\,x + y + \frac{1}{2}z - 9 = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 18 = 0\\\left( {{P_2}} \right):\,\,\,x + \frac{1}{2}y + z - \frac{{19}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 19 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {6;\,\,2;\,\,2} \right)\) vào \(\left( {{P_1}} \right)\) ta đươc: \(2.6 + 2.2 + 2 - 18 = 0 \Rightarrow \Delta  \subset \left( {{P_1}} \right)\) (mâu thuẫn)

\( \Rightarrow \) Chỉ có \(\left( {{P_2}} \right):\,\,\,\,2x + y + 2z - 19 = 0\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.