Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 6;0;0...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (C) \(\Rightarrow K\in \left( P \right)\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA.

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC), chứng minh K’ là trọng tâm tam giác ABC.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua K’ và vuông góc với (ABC) \(\Rightarrow K\in d\).

\(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow \) Tìm tọa độ điểm K.

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 1;1;0 \right)\), mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}\left( 4;-1;-1 \right)\).

Dễ thấy điểm \(M\left( 1;1;1 \right)\) thuộc cả hai mặt cầu \(\Rightarrow M\in \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt phẳng (P) chứa (C) vuông góc với \({{I}_{1}}{{I}_{2}}\) và đi qua M. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:

\(3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA ta có \(KA'=KB'=KC'\).

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC) ta  chứng minh được \(K'A\bot AB;\,\,K'B\bot BC;\,\,K'C\bot CA\) và \(K'A'=K'B'=K'C'\Rightarrow K'\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC đều \(\Rightarrow K'\) là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow K'\left( 2;2;2 \right)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z=6\).

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua K’ và vuông góc với (ABC) là: \(d:\,\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}\Rightarrow K\in d\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow K\left( t+2;t+2;t+2 \right)\)

Thay vào phương tình mặt phẳng (P) \(\Rightarrow 3\left( t+2 \right)-2\left( t+2 \right)-\left( t+2 \right)=0\Rightarrow \) Phương trình có vô số nghiệm.

Vậy có vô số điểm K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.