Giải các phương trình sau:a) $2\sin x - 1 = 0$. ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) $\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + 2k\pi \\x = \pi  - \alpha  + 2k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

b) Sử dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác.

c) $a\sin x + b\cos x = c \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Giải chi tiết:

a) $2\sin x - 1 = 0$.

Ta có: $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \,x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in Z} \right\}$.

b) ${\sin ^2}x - \cos x + 1 = 0$

Ta có: ${\sin ^2}x - \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x - \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow  - {\cos ^2}x - \cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x =  - 2\left( {V\^o {\rm{ }}nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {k2\pi ;\,k \in Z} \right\}$. 

c) $\sin \,x - \sqrt 3 \cos x = 1$.

Ta có: $\sin \,x - \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin \,x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin \,x - \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \,\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in Z} \right\}$.