Tính tích phân \(I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^3}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết:

Cho \(\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Ta có \(I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x} \,{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^4 {\sqrt {x{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^4 {\left| {x - 1} \right|\sqrt x \,{\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|\sqrt x \,{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^4 {\left| {x - 1} \right|\sqrt x \,{\rm{d}}x}  =  - \,\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right)\sqrt x \,{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^4 {\left( {x - 1} \right)\sqrt x \,{\rm{d}}x} \)

\( =  - \,\int\limits_0^1 {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}} \right)\,{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^4 {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}} \right)\,{\rm{d}}x}  =  - \,\left. {\left( {\dfrac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1 + \,\left. {\left( {\dfrac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4 = 8.\)

Chọn C.