Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y = x.\cos...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần bằng cách đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = \cos xdx \hfill \cr}  \right.,\) sau đó sử dụng giả thiết F(0) = 1 để tìm hằng số C và xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm số F(x) tìm được.

Giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right) = \int {x.\cos xdx} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = \cos xdx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = dx \hfill \cr   v = \sin x \hfill \cr}  \right. \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x - \int {\sin xdx}  + C = x\sin x + \cos x + C.\)

\(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow 0\sin 0 + \cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x + \cos x\)

Ta có: \(F\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = x\sin x + \cos x = F\left( x \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) là hàm chẵn.

Chọn A.