Cho tích phân \(I = \int\limits_{{\pi  \over 4}}^{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm logarit và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln \left( {3\sin x + \cos x} \right) \hfill \cr   dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  du = {{3\cos x - \sin x} \over {3\sin x + \cos x}}\,\,dx \hfill \cr   v =  - \cot x - 3 =  - {{3\sin x + \cos x} \over {\sin x}} \hfill \cr}  \right.\).

Khi đó \(I = \left. {\left[ { - \left( {\cot x + 3} \right)\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \right]} \right|_{{\pi  \over 4}}^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_{{\pi  \over 4}}^{{\pi  \over 2}} {{{3\cos x - \sin x} \over {\sin x}}\,\,dx} .\)

\(\eqalign{  &  = 4.\ln 2\sqrt 2  - 3.\ln 3 - \int\limits_{{\pi  \over 4}}^{{\pi  \over 2}} {dx}  + 3.\int\limits_{{\pi  \over 4}}^{{\pi  \over 2}} {{{d\left( {\sin x} \right)} \over {\sin x}}}   \cr   &  = 4.\ln 2\sqrt 2  - 3.\ln 3 - \int\limits_{{\pi  \over 4}}^{{\pi  \over 2}} {dx}  + 3\left. {\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{{\pi  \over 4}}^{{\pi  \over 2}}  \cr   &  = 4.\ln 2\sqrt 2  - 3.\ln 3 - {\pi  \over 4} - 3.\ln {1 \over {\sqrt 2 }}  \cr   &  = 12ln\sqrt 2  - 3\ln 3 - {\pi  \over 4} + 3\ln \sqrt 2  = 15.\ln \sqrt 2  - 3.\ln 3 - {\pi  \over 4}  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  m = 15 \hfill \cr   n =  - 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow m + n = 12. \cr} \)

Chọn A.