Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét đầy đủ các phương trình hoành độ giao điểm.

Vẽ hình và suy ra thể tích cần tính.

Giải chi tiết:

Ta có \(y=\sqrt{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y\ge 0 \\ & x={{y}^{2}} \\\end{align} \right.\) và \(y=2-x\Leftrightarrow x=2-y.\)

Xét phương trình \({{y}^{2}}=2-y\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & y=1 \\ & y=-\,2 \\\end{align} \right..\)

Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được tô vàng trong hình vẽ bên quanh trục tung.

Vậy \(V=\left| \pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{\left( 2-y \right)}^{2}}-{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}y} \right|=\left| \pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{y}^{4}}-{{y}^{2}}+4y-4 \right)\text{d}y} \right|=\pi \left| \left. \left( \frac{{{y}^{5}}}{5}-\frac{{{y}^{3}}}{3}+2{{y}^{2}}-4y \right) \right|_{0}^{1} \right|=\frac{32\pi }{15}.\)

Chọn C.