Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc đồ thị \(\l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {a;a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}} \right) \in \left( C \right)\), tính khoảng cách từ M đến d và sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTNN của khoảng cách đó.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} + 2x + 2x + 4 + 1}}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{1}{{x + 2}}\)

Lấy \(M\left( {a;a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}} \right) \in \left( C \right)\)

Ta có \(d\left( {M;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {3a + a + 2 + \frac{1}{{a + 2}} + 6} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{{\left| {4a + 8 + \frac{1}{{a + 2}}} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {\frac{{{{\left( {4\left( {a + 2} \right) + \frac{1}{{a + 2}}} \right)}^2}}}{{10}}} \)

\(d{\left( {M;\left( d \right)} \right)_{\min }} \Leftrightarrow {\left( {4\left( {a + 2} \right) + \frac{1}{{a + 2}}} \right)^2}_{\min }\)

Ta có \({\left( {4\left( {a + 2} \right) + \frac{1}{{a + 2}}} \right)^2}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} {\left( {2\sqrt 4 } \right)^2} = {4^2}\)

\( \Rightarrow d{\left( {M;\left( d \right)} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{{{4^2}}}{{10}}}  = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)

Chọn D.