Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M\left( {...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi phương trình d cần tìm theo đoạn chắn.

Giải chi tiết:

Ta có A, B là giao điểm của d với hai tia Ox,Oy nên gọi \(A\left( {a;\;0} \right);\;B\left( {0;\;b} \right)\;\;\;\left( {a > 2;\;b > 1} \right).\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình d  theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Do  \(M \in d \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\;\;\;\;\left( 1 \right)\)     

Mặt khác: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab\)

Để diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab\) nhỏ nhất

Ta có:  \(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{{ab}}}  \Leftrightarrow \frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow ab \ge 8\)

Vậy diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab = 8\;\;\;\;\left( 2 \right)\)   

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\\left( {8 - 2b} \right)b = 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\,\,\,(tm)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình d: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0\)

Chọn C.