Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: \({(a - b)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương, biểu thức \({(a - b)^2} = a + b + 2\) về dạng \(\frac{a}{{b + 1}} + \frac{b}{{a + 1}} = 2.\)

Đặt: \(x = \frac{a}{{b + 1}};y = \frac{b}{{a + 1}} \Rightarrow x + y = 2\)

Rồi chứng minh. \(\left( {1 + \frac{{{a^3}}}{{{{(b + 1)}^3}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{b^3}}}{{{{(a + 1)}^3}}}} \right) \le 9\) qua hai ẩn mới x, y. Bằng cách biến đổi về một biểu thức tương đương luôn đúng.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{(a - b)^2} = a + b + 2\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2}\,\,\,\, = a + b + 2\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \,a + b + 2 + 2ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + a + b\,\, = \,a + b + 2 + 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + a} \right) + \left( {{b^2} + b} \right) = 2\left( {ab + a + b + 1} \right)\\ \Leftrightarrow a(a + 1) + b(b + 1) = 2(a + 1)(b + 1)\\ \Leftrightarrow \frac{{a(a + 1) + b(b + 1)}}{{(a + 1)(b + 1)}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{b + 1}} + \frac{b}{{a + 1}} = 2.\end{array}\)

Đặt: \(x = \frac{a}{{b + 1}};y = \frac{b}{{a + 1}} \Rightarrow x + y = 2\)

\(\begin{array}{l}(1 + {x^3}){(1 + y)^3} \le 9\\ \Leftrightarrow 1 + {(xy)^3} + {x^3} + {y^3} \le 9\\ \Leftrightarrow {(xy)^3} + (x + y)[{(x + y)^2} - 3xy] \le 8\\ \Leftrightarrow xy({x^2}{y^2} - 6) \le 0\\\left( {do\;\;0 \le xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = 1} \right)\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0;\;b = 2\\a = 2;\;\;b = 0\end{array} \right..\)