Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(x + y = a,xy = b\), ta được một hệ mới đơn giản hơn, giải bằng phép thế

+) Với hai số thực bất kì có \(x + y = a,\;\;xy = b\;\left( {{a^2} \ge 4b} \right)\) thì hai số \(x,\;y\) là hai nghiệm của phương trình:  \({X^2} - aX + b = 0\)

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + x + y = 18\\xy\left( {xy + x + y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

Đặt \(x + y = a,\;\;xy = b\) ta có hệ đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a - 2b = 18\\b\left( {a + b + 1} \right) = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{{a^2} + a - 18}}{2}\;\;\;\left( 1 \right)\\\frac{{{a^2} + a - 18}}{2}\left( {a + \frac{{{a^2} + a - 18}}{2} + 1} \right) = 72\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {{a^2} + a - 18} \right)\left( {{a^2} + 3a - 16} \right) = 288\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + 2a - 17} \right) - \left( {a + 1} \right)} \right].\left[ {\left( {{a^2} + 2a - 17} \right) + \left( {a + 1} \right)} \right] = 288\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + 2a - 17} \right)^2} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 288\\ \Leftrightarrow {a^4} + 4{a^3} + 4{a^2} - 68a - 34{a^2} + 289 - {a^2} - 2a - 1 = 288\\ \Leftrightarrow {a^4} + 4{a^3} - 31{a^2} - 70a + 288 = 288\\ \Leftrightarrow a\left( {{a^3} + 4{a^2} - 31a - 70} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {{a^3} - 5{a^2} + 9{a^2} - 45a + 14a - 70} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {a - 5} \right)\left( {{a^2} + 9a + 14} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow a\left( {a - 5} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow b =  - 9\\a = 5 \Rightarrow b = 6\\a =  - 2 \Rightarrow b =  - 8\\a =  - 7 \Rightarrow b = 12\end{array} \right..\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 9\end{array} \right.\)  ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 0X - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X =  - 3\\X = 3\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;\; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;3} \right)} \right\}.\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 6\end{array} \right.\)  ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = 3\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right)} \right\}.\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 8\end{array} \right.\)  ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} + 2X - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2;\; - 4} \right)} \right\}.\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 7\\b = 12\end{array} \right.\)  ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} + 7X + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X =  - 3\\X =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3; - 4} \right),\;\left( { - 4; - 3} \right)} \right\}.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3; - 4} \right),\;\left( { - 4; - 3} \right);\;\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2; - 4} \right),\;\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right),\;\left( {3; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;3} \right)} \right\}.\)

Chọn D.