Giải hệ phương trình: \(\left\{ \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình (2), giải phương trình (2) bằng phương pháp thế sau đó thế vào phương trình (1) để giải phương trình tìm nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x \ge  - 2.\)

Phương trình (2) tương đương với:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {x + 2} \right)^3} + \left( {x + 2} \right) = {y^3} + y\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2 - y} \right)\left[ {{x^2} + 4x + 4 + y\left( {x + 2} \right) + {y^2} + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 2} \right)\left[ {{{\left( {\frac{x}{2} + y + 1} \right)}^2} + \frac{3}{4}{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,{{\left( {\frac{x}{2} + y + 1} \right)}^2} + \frac{3}{4}{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1 \ge 1} \right)\\ \Leftrightarrow y = x + 2.\end{array}\)

Thay vào phương trình (1) ta được:  \(4\sqrt y  + 2\sqrt {3(y + 2)}  = 3{y^2} - 3y + 10\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(\begin{array}{l}VT = 2\sqrt {2y.2}  + 2\sqrt {3(y + 2)}  \le 2y + 2 + 3 + y + 2 = 3y + 7\\VP = 3{y^2} - 3y + 10 - (3y + 7) = 3{y^2} - 6y + 3 = 3{(y - 1)^2} \ge 0\end{array}\)

Như vậy phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = y - 2 = 1 - 2 =  - 1\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,y} \right) = \left( { - 1;\,1} \right).\)

Chọn A.