Cho biểu thức: \(A = \frac{{3x + \sqrt {16x}  - 7}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích thành nhân tử để rút gọn tử số và mẫu số.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức: \(A = \frac{{3x + \sqrt {16x}  - 7}}{{x - \sqrt {4x}  - 3}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}}(x \ge 0,x \ne 9).\)

a) Rút gọn A.

\(\begin{array}{l}A = \frac{{3x + \sqrt {16x}  - 7}}{{x - \sqrt {4x}  - 3}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}}\;\;\;(x \ge 0,x \ne 9).\\\;\;\; = \frac{{3x + 4\sqrt x  - 7}}{{x - 2\sqrt x  - 3}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\\;\;\; = \frac{{3x + 4\sqrt x  - 7 + \left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{3x + 4\sqrt x  - 7 + 1 - x - x + 9}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 1)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 4\sqrt x  + 3}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 1)}} = \frac{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 3)}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 1)}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)

b) Tìm x nguyên để A nguyên.

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{6}{{\sqrt x  - 3}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A \in Z \Leftrightarrow \frac{6}{{\sqrt x  - 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in U\left( 6 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\; \pm 2;\; \pm 3;\; \pm 6} \right\}.\end{array}\) 

Ta có bảng:

Vậy các giá trị thỏa mãn bài toán là: \(x \in \left\{ {0;\;1;\;4;\;16;\;25;\;36;\;81} \right\}.\)