Lập phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Bước 1:

Giả sử \(A\left( {a;0} \right);\,\,B\left( {0;b} \right).\) ĐK \(a > 0;b > 0\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

* Bước 2: Lập 2 phương trình:

\(\begin{array}{l}M\left( {4;6} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow \frac{4}{a} + \frac{6}{b} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}ab\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\frac{4}{a} + \frac{6}{b} \ge 2\sqrt {\frac{4}{a}.\frac{6}{b}}  \Rightarrow 1 \ge \frac{{4\sqrt 6 }}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow ab \ge 96\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB\,\,\min }} = 48 \Leftrightarrow \frac{4}{a} = \frac{6}{b}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 12\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\frac{x}{8} + \frac{y}{{12}} = 1\).