a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị để tìm tọa độ hai giao điểm \(A,\;B.\)

+) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ.

+) Dựa vào hình vẽ để tính diện tích tứ giác ABCD.

Giải chi tiết:

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\6x - 2y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\y = 3x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

b) Tìm tọa độ giao điểm \(A,\;B\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = x + 2.\) Gọi \(D,\;C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\;B\) lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác \(ABCD.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \({x^2} = x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow A\left( { - 1;\;1} \right)\\x = 2 \Rightarrow B\left( {2;\;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

C là hình chiếu của B trên trục hoành \( \Rightarrow C\left( {2;\;0} \right).\)

D là hình chiếu của A trên trục hoành \( \Rightarrow D\left( { - 1;\;0} \right).\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ABCD là hình thang vuông tại D và C.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + CB} \right).CD}}{2} = \frac{{\left( {AD + CB} \right).\left( {DO + OC} \right)}}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\left( {1 + 4} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{2} = \frac{{15}}{2} = 7,5\;\;\left( {dvdt} \right).\end{array}\)

Vậy diện tích tứ giác ABCD là: \(7,5\;dvdt.\)