Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\s...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Quy đồng, rút gọn P

b) Từ điều kiện của x suy ra điều kiện của \(\sqrt x \) từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của P

Giải chi tiết:

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\) , với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\)

a) Rút gọn P.

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right) = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - \left( {3x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\\\;\;\; = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\end{array}\)    

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \ge \frac{{ - 3}}{3} =  - 1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (tmđk)

Vậy \({P_{\min }} =  - 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Chọn A.