Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Vì đã có tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục tung, thay tọa độ đó vào phương trình đường thẳng để tìm \(m\)

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với \(\left( d \right):y=x+1\) bằng cách lập phương trình hoành độ giao điểm, sau đó chứng minh giao điểm đó cũng nằm trên trục hoành.

b) Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với trục tung và trục hoành.

Độ dài đường cao ứng với đỉnh O trong tam giác vuông OAB chính là khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính từ đó biện luận tìm giá trị lớn nhất. Từ đó tìm giá trị của m.

Giải chi tiết:

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \({{d}_{1}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là \(-3\)  Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và chứng tỏ giao điểm của đồ thị hàm số vừa tìm được với đường thẳng \(\left( d \right):y=x+1\) nằm trên trục hoành.

Vì \({{d}_{1}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là \(-3\)  suy ra \(\left( 0;-3 \right)\) nằm trên đường thẳng \({{d}_{1}}\)

\(\Rightarrow -3=\left( m-1 \right).0+2m+1\Leftrightarrow 2m=-4\Leftrightarrow m=-2\)

Với \(m=-2\) ta có phương trình đường thẳng \(\left( {{d}_{1}} \right):y=-3x-3\)

Nhận thấy: \(A\left( 0;-3 \right),\ B\left( -1;\ 0 \right)\) nằm trên đồ thị hàm số. Vì hàm số \(\left( {{d}_{1}} \right):y=-3x-3\) là hàm số bậc nhất nên đồ thị của nó có dạng đường thẳng, từ đó ta có đồ thị:

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d}_{1}} \right):y=-3x-3\) và \(\left( d \right):y=x+1\) là nghiệm của phương trình:

\(x+1=-3x-3\Leftrightarrow 4x=-4\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=x+1=-1+1=0\)  

Vậy giao điểm của \(\left( {{d}_{1}} \right):y=-3x-3\) và \(\left( d \right):y=x+1\) là \(\left( -1;0 \right)\)  Nhận thấy điểm \(\left( -1;0 \right)\) nằm trên trục hoành (do có tung độ bằng 0).

Vậy ta có điều cần chứng minh

b) Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \({{d}_{1}}\) đạt giá trị lớn nhất.

+) Với \(x=0\Rightarrow y=2m+1\Rightarrow A\left( 0;2m+1 \right)\) là giao điểm của \({{d}_{1}}\) với trục tung\(\Rightarrow OA=\left| 2m+1 \right|\)

+) Với \(y=0\Rightarrow x=\frac{-\left( 2m+1 \right)}{m-1}\Rightarrow B\left( \frac{-\left( 2m+1 \right)}{m-1};0 \right)\) là giao điểm của \({{d}_{1}}\) với trục hoành

\(\Rightarrow OB=\left| \frac{-\left( 2m+1 \right)}{m-1} \right|\)

Từ O kẻ đường cao OH  với, ta được OH  chính là khoảng cách từ O tới \({{d}_{1}}\)

Xét tam giác vuông OAB vuông tại O có đường cao OH

\(\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

 Đặt \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=t\) ta có:

\(\begin{align}  & t=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}+\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}-2m+2}{4{{m}^{2}}+4m+1}\ \ \ \left( m\ne -\frac{1}{2} \right) \\  & \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}t+4mt+t={{m}^{2}}-2m+2 \\  & \Rightarrow {{m}^{2}}\left( 4t-1 \right)+2m\left( 2t+1 \right)+t-2=0 \\ \end{align}\)

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn \(m\)  phương trình có nghiệm khi \(\) \(\)  \(\)

\(\begin{align}  & \Delta '={{\left( 2t+1 \right)}^{2}}-\left( 4t-1 \right)\left( t-2 \right)\ge 0 \\  & \Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4t+1-4{{t}^{2}}+9t-2\ge 0 \\  & \Leftrightarrow 13t-1\ge 0\Leftrightarrow t\ge \frac{1}{13} \\  & \Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}\ge \frac{1}{13}\Rightarrow OH\le \sqrt{13} \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép \(\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left( 4t+2 \right)}{2\left( 4t-1 \right)}=-\frac{\frac{4}{13}+2}{2.\left( \frac{4}{13}-1 \right)}=\frac{5}{3}\ \ \ \left( tm \right)\)

Vậy \(m=\frac{5}{3}\) là giá trị cần tìm.

Chọn D