\(\frac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x + \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin \,x + \cos x}} = 2\left( {1 + \sin \,x} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\cos ^3}x - {\cos ^2}x = \left( {2 + 2\sin x} \right)\left( {\sin \,x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x - {\cos ^2}x = 2\sin x + 2\cos x + 2{\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x = 2\sin x + 2\cos x + 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x\end{array}\)

Cộng \({\cos ^2}x\) vào cả hai vế

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\cos ^3}x + {\cos ^2}x = \left( {2\sin x + 2\sin x.\cos x} \right) + 2\cos x + 2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x\left( {\cos x + 1} \right) = 2\sin x\left( {\cos x + 1} \right) + 2\cos x + 2\,\end{array}\)

(vì \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {{{\cos }^2}x - 2\sin x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + 1 = 0\\{\cos ^2}x - 2\sin x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\1 - {\sin ^2}x - 2\sin x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\sin \,x =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \cos \pi \\\sin \,x = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

Chọn A.