Chứng minh rằng phương trình \({x^2} - {y^2} = 200...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng hằng đẳng thức đưa về trái về dạng tích, chứng minh vế trái chia hết cho 4.

Giải chi tiết:

\({x^2} - {y^2} = 2006 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 2006\).

Vì \(\left( {x - y} \right) + \left( {x + y} \right) = 2x\) là số nguyên chẵn nên \(x - y\) và \(x + y\) cùng tính chẵn lẻ.

Mà tích của chúng lại là số chẵn nên \(x - y\) và \(x + y\) đều chẵn.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y\,\, \vdots \,\,2\\x + y\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\,\, \vdots \,\,4\).

Mặt khác \(2006\) không chia hết cho 4.

Vậy phương trình \({x^2} - {y^2} = 2006\) vô nghiệm nguyên.