Cho một hình vuông và \(13\) đường thẳng, mỗi đườn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng chia hình vuông thành \(2\) tứ giác với tỉ số diện tích đã cho. Tỉ số diện tích lớn hơn \(\frac{1}{2}\) nên đường thẳng \(d\) sẽ cắt đường trung bình của hình vuông đó. Đồng thời, đường thẳng \(d\) cũng chia đường trung bình theo đúng tỉ số đó.

\( \Rightarrow \) Xác định được \(4\) điểm chia hình vuông theo tỉ số đó

\( \Rightarrow \)Mỗi đường thẳng sẽ đi qua \(1\) trong \(4\) điểm

Giải chi tiết:

Gọi \(d\) là đường thẳng chia hình vuông \(ABCD\) thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là \(2\,\,:\,\,3\).

Suy ra, đường thẳng \(d\) không thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vuông

Giả sử, \(d\) cắt hai cạnh \(AB\) và \(CD\) tại \(M\) và \(N\), khi đó đường thẳng \(d\) cắt đường trung bình \(EF\) tại \(I\).

Giả sử, \({S_{AMND}} = \frac{2}{3}{S_{BMNC}}\) thì \(EI = \frac{2}{3}IF\)

Như vậy, mỗi đường thẳng đã cho chia các đường trung bình của hình vuông theo tỉ số \(2\,\,:\,\,3\).

Có \(4\) điểm chia các đường trung bình của hình vuông \(ABCD\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\).

Có \(13\) đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong \(4\) điểm.

Vậy theo nguyên lý Dirichle có ít nhất \(4\) đường thẳng cùng đi qua một điểm.