Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\Delta ACM \sim \Delta DAM\), từ đó chứng minh \(\Delta ECM \sim \Delta DOM\).

- Chứng minh tứ giác \(DOEC\) có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện

Giải chi tiết:

Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta DAM\) có:

\(\angle AMD\) chung;

\(\angle CAM = \angle ADM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ACM \sim \Delta DAM\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{AM}}\\ \Rightarrow A{M^2} = MC.MD\end{array}\).

Lại có: Tam giác OAM vuông tại A có đường cao AE nên \(A{M^2} = ME.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MC.MD = ME.MO\\ \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{ME}}{{MC}}\end{array}\)

Xét \(\Delta ECM\) và \(\Delta DOM\) có: \(\angle OMD\) chung; \(\dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{ME}}{{MC}}\,\,\left( {cmt} \right)\).

\( \Rightarrow \Delta ECM \sim \Delta DOM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ODC = \angle CEM\)  (hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow \)\(DOEC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Vậy \(C,\,\,E,\,\,O,\,\,D\) cùng nằm trên một đường tròn.