Cho đường thẳng (d): mx – (m + 4)y = m

- Hướng dẫn giải

1. Với đường thẳng (d), ta có a = m, b = -(m+4), c = m

a) Để (d) cắt cả hai trục tọa độ, điều kiện là:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{b}\ne 0\\ \mathrm{c}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ -\left(\mathrm{m}+4\right)\ne 0\\ \mathrm{m}\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ \mathrm{m}\ne -4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\mathrm{m}\ne 0$ và $\mathrm{m}\ne 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Để (d) song song với Ox, điều kiện là:

 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{b}\ne 0\\ \mathrm{c}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}=0\\ -\left(\mathrm{m}+4\right)\ne 0\\ \mathrm{m}\ne 0\end{array}\right.$(vô nghiệm)

Vậy không tồn tại m để (d) song song với Ox.

c) Để (d) song song với Oy, điều kiện là:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{b}=0\\ \mathrm{c}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ -\left(\mathrm{m}+4\right)=0\\ \mathrm{m}\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \mathrm{m}=-4 \end{gathered}$$

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

d) Viết lại hai phương trình đường thẳng (d) và $\left(∆\right)$ dưới dạng:

$\left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+4}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+4}$ với $\mathrm{m}\ne -4$ và $\left(\mathrm{\Delta }\right):\mathrm{y}=-\mathrm{x}+6$ 

Khi đó, để (d) song song với $\left(∆\right)$, điều kiện là:

$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+4}=-1\iff \mathrm{m}=-\mathrm{m}-4\iff \mathrm{m}=-2$

Vậy với m = - 2, thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Giả sử là điểm cố điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{mx}}_0-\left(\mathrm{m}+4\right){\mathrm{y}}_0=\mathrm{m},\forall \mathrm{m} \\ \iff \left({\mathrm{x}}_0-{\mathrm{y}}_0-1\right)\mathrm{m}-4{\mathrm{y}}_0=0,\forall \mathrm{m} \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_0-{\mathrm{y}}_0-1=0\\ -4{\mathrm{y}}_0=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_0=1\\ {\mathrm{y}}_0=0\end{array}\right.\right.$

Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định là M(1; 0)