Cho hình chóp $S.\,ABC$ có tam giác $ABC$ vuôn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định chiều cao của hình chóp bằng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $AC\,\,\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABC \right).$

Kẻ $HM\bot AB\,\,\,\left( M\in AB \right),\,\,HN\bot AC\,\,\,\left( N\in AC \right)$

Suy ra $\widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)}=\widehat{SMH}=\widehat{SNH}={{60}^{0}}.$

$\Rightarrow \,\,\Delta \,SHM=\Delta \,SHN$$\Rightarrow \,\,HM=HN$$\Rightarrow \,\,H$ là trung điểm của $AC.$

Tam giác $SHM$ vuông tại $H,$ có $\tan \widehat{SMH}=\frac{SH}{HM}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{{{a}^{2}}}{2}.$

Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$

Chọn D