Cho hình chóp \(S.\,ABC\) có tam giác \(ABC\) vuôn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định chiều cao của hình chóp bằng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AC\,\,\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABC \right).\)

Kẻ \(HM\bot AB\,\,\,\left( M\in AB \right),\,\,HN\bot AC\,\,\,\left( N\in AC \right)\)

Suy ra \(\widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)}=\widehat{SMH}=\widehat{SNH}={{60}^{0}}.\)

\(\Rightarrow \,\,\Delta \,SHM=\Delta \,SHN\)\(\Rightarrow \,\,HM=HN\)\(\Rightarrow \,\,H\) là trung điểm của \(AC.\)

Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H,\) có \(\tan \widehat{SMH}=\frac{SH}{HM}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)

Vậy thể tích cần tính là \(V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)

Chọn D