Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

3 mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) song song với nhau và (P) nằm giữa (Q) và (R), tính khoảng cách giữa các mặt phẳn song song.

Phân tích \(T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{72}{AC}+\frac{72}{AC}\), sử dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm \(a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\) và định lí Ta-let.

Giải chi tiết:

Dễ dàng thấy 3 mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) song song với nhau và (P) nằm giữa (Q) và (R), ta tính được \(d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=BH=9;\,\,d\left( \left( P \right);\left( R \right) \right)=HK=3\)

Ta có: 

\(\begin{align}& T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{72}{AC}+\frac{72}{AC} \\ & \overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\frac{72}{AC}.\frac{72}{AC}}=3\sqrt[3]{1296.{{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Theo định lí Ta-let ta có :

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{HK}=3\Rightarrow T\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{{{1296.3}^{2}}}=54\sqrt[3]{2}\)

Vậy \(\min T=54\sqrt[3]{2}\).

Chọn B.