Nghiệm âm lớn nhất của phương trình  \(\cos \left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos f\left( x \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - f\left( x \right)} \right)\)  để đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản và tìm nghiệm của phương trình.

Tìm nghiệm âm lớn nhất ta cho nghiệm của phương trình \( < 0\) và tìm ra nghiệm lớn nhất.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{{12}} - x + m2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{{5\pi }}{{12}} + x + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{9} + m\frac{{2\pi }}{3}\\x =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {m,n \in Z} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{9} + m\frac{{2\pi }}{3} < 0\\ - \frac{\pi }{6} + n2\pi  < 0\end{array} \right.\,\,\left( {m,n \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{3}\\n < \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\,\,\left( {m,n \in Z} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m \in \left\{ {...;\; - 2; - 1} \right\}\\n \in \left\{ {....; - 2;\; - 1;\;0} \right\}\end{array} \right.\end{array}\)

Dễ thấy \({x_{\max }} \Leftrightarrow {m_{\max }};\,\,{n_{\max }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_{\max }} =  - \frac{{4\pi }}{9}\\{x_{\max }} =  - \frac{\pi }{6}\end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} =  - \frac{\pi }{6}.\)

Chọn C.