Cho \(A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng phần thức và rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\).

Giải chi tiết:

a) TXĐ: \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\;.\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1 - x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}\)

b) \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3 + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}}\)

Để \(A \in Z \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x  - 3\; \in U\left( 3 \right)\)

Mà \(\;U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\).  

TH1: \(\;\sqrt x  - 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2: \(\;\sqrt x  - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 6 \Leftrightarrow x = 36\,\,\left( {tm} \right)\)

TH3: \(\;\sqrt x  - 3 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\)

TH4: \(\;\sqrt x  - 3 =  - 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy để \(A \in Z\) thì \(x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}\).