Giải phương trình: \({\cos ^4}\frac{x}{2} -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Dùng công thức biến đổi vế trái của phương trình

\({\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right) = \cos x\)

Giải chi tiết:

Ta có:   \({\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right) = \cos x\)

Khi đó ta có phương trình :

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos x = 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \cos x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + l\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)