Tổng của nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhấ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;{\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 1 - 2\sin x.\cos x\\
\Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + m2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
2x = m2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = m\pi
\end{array} \right.,\;\;k,\;m \in Z.
\end{array}\)

Ta có: \(\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} + k\pi  > 0\\m\pi  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k >  - 0,25\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\m = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \pi \end{array} \right. \Rightarrow {x_{\min }} = \frac{\pi }{4}.\)

\(\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} + k\pi  < 0\\m\pi  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k <  - 0,25\\m < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 1\\m =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{{3\pi }}{4}\\x =  - \pi \end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} =  - \frac{{3\pi }}{4}.\)

Nghiệm dương bé nhất là: \(x = \frac{\pi }{4}\); nghiệm âm lớn nhất là: \(x =  - \frac{{3\pi }}{4}\).

Tổng hai nghiệm là \(\frac{\pi }{4} - \frac{{3\pi }}{4} =  - \frac{\pi }{2}.\)

Chọn A.