Tổng của nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhấ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi về dạng $a\sin x + b\cos x = c$

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \;\;\;{\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 1 - 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ 2x = m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = m\pi \end{array} \right.,\;\;k,\;m \in Z. \end{array}$

Ta có: $\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} + k\pi  > 0\\m\pi  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k >  - 0,25\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\m = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \pi \end{array} \right. \Rightarrow {x_{\min }} = \frac{\pi }{4}.$

$\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} + k\pi  < 0\\m\pi  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k <  - 0,25\\m < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 1\\m =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{{3\pi }}{4}\\x =  - \pi \end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} =  - \frac{{3\pi }}{4}.$

Nghiệm dương bé nhất là: $x = \frac{\pi }{4}$; nghiệm âm lớn nhất là: $x =  - \frac{{3\pi }}{4}$.

Tổng hai nghiệm là $\frac{\pi }{4} - \frac{{3\pi }}{4} =  - \frac{\pi }{2}.$

Chọn A.