Giải và biện luận bpt sau theo tham số \(m\): \(\l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Bất phương trình có dạng \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge \left| {g\left( x \right)} \right|\)

  \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2} \ge g{\left( x \right)^2} \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) \ge 0\)

+) Xét từng khoảng của m để biện luận nghiệm.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {{x^2} - 2x + m} \right| \le \left| {{x^2} - 3x - m} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x + m} \right)^2} \le {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2m} \right)\left( {2{x^2} - 5x} \right) \le 0 \Leftrightarrow x\left( {2x - 5} \right)\left( {x + 2m} \right) \le 0\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {2x - 5} \right) \ge 0\\x + 2m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{5}{2}\\x \le 0\end{array} \right.\\x \le  - 2m\end{array} \right.\)

+) Nếu \( - 2m \le 0 \Rightarrow m \ge 0 \Rightarrow S = \left( { - \infty ;2m} \right]\).

+) Nếu \(0 <  - 2m < \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{4} < m < 0 \Leftrightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right]\).

+) Nếu \( - 2m \ge \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{4} \Rightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {\dfrac{5}{2}; - 2m} \right]\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {2x - 5} \right) \le 0\\x + 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le \dfrac{5}{2}\\x \ge  - 2m\end{array} \right.\)

+) Nếu \( - 2m > \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{4} \Rightarrow S = \emptyset \)

+) Nếu \(0 \le  - 2m \le \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{4} \le m \le 0 \Rightarrow S = \left[ { - 2m;\dfrac{5}{2}} \right]\)

+) Nếu \( - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 0 \Rightarrow S = \left[ {0;\dfrac{5}{2}} \right]\).