Giải và biện luận hệ theo m. 

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Rút x hoặc y theo ẩn còn lại từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai.

+) Đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn: \(ax = b\)

+) Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn: \(ax = b\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = 1\\3x + \left( {m + 1} \right)y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\3x + \left( {m + 1} \right).\dfrac{{1 - mx}}{2} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\6x - \left( {{m^2} + m} \right)x + m + 1 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\\left( {{m^2} + m - 6} \right)x = m + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\\left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right)x = m + 3\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right)\end{array}\)

Khi \(m = 2\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 5\) (vô nghiệm) ⇒ Hệ phương trình ban đầu vô nghiệm.

Khi \(m =  - 3\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 0 \Rightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm \(x \in R;\,\,y = \dfrac{{1 + 3x}}{2}\).

Khi \(\left( {m + 3} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 3\\m \ne 2\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{m + 3}}{{\left( {m + 3} \right)\left( {m - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{m - 2}}\\y = \dfrac{{1 - \dfrac{m}{{m - 2}}}}{2} = \dfrac{1}{{2 - m}}\end{array} \right.\)

Hệ (I) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) duy nhất là  \(\left( {\dfrac{1}{{m - 2}};\dfrac{1}{{2 - m}}} \right)\)

Kết luận:

+ \(m = 2\): (I) vô nghiệm

+ \(m = -3\): (I) có vô số nghiệm \(x \in R;\,\,y = \dfrac{{1 + 3x}}{2}\)

+ m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {\dfrac{1}{{m - 2}};\dfrac{1}{{2 - m}}} \right)\)