Cho phương trình: \({\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + 2 -...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(\sin x = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right).\)

+) Để phương trình bài cho có nghiệm thì phương trình ẩn \(t\) phải có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;\;1} \right].\)

+) Khi đó ta khảo sát hàm số để tìm điều kiện của \(m\) để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết:

Đặt \(\sin x = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right).\)

Khi đó ta có phương trình: \({t^3} - 3{t^2} + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} + 2 = m\;\;\left( * \right)\)

Để phương trình bài cho có nghiệm thì phương trình \(\left( * \right)\)  phải có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;\;1} \right].\)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2\) và đường thẳng \(y = m.\)

Phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;\;1} \right] \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) có điểm chung với đồ thị hàm số  \(y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2\)

Xét hàm số: \(y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2\) ta có:

\(y' = 3{t^2} - 6t \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\;\; \in \left[ { - 1;\;1} \right]\\t = 2\; \notin \;\left[ { - 1;\;1} \right]\end{array} \right..\)

Ta có BBT:

Theo BBT ta có, đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2\) có điểm chung \( \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2\)

Lại có: \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 2;\; - 1;\;0;\;1;\;2} \right\}.\)

Chọn  C.