Xác định \(m < 0\) để \(f\left( x \right) =  -...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

+) Phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai.

Phương trình \(\left( 1 \right)\)  có \(4\)  nghiệm \(x\)  phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có \(2\)  nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

Ta có:  \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = 0{\rm{    }}\left( 1 \right)\)

Đặt  \(t = {x^2}\,\,\,\left( {t \ge 0} \right),\,\,\)khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left[ {t - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = 0 \Leftrightarrow {\left[ {t - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} = {m^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - \left( {m + 1} \right) = m\\t - \left( {m + 1} \right) =  - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2m + 1\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có \(4\)  nghiệm phân biệt thì \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m >  - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1},\) ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(2m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0.\)  Khi đó nghiệm của \(\left( 1 \right)\) theo thứ tự là

\(\begin{array}{l} - \sqrt {2m + 1} , - 1,\,\,\,1,\,\,\,\,\sqrt {2m + 1}  \Rightarrow {x_3} - {x_2} = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow {x_4} - {x_3} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1}  - 1 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1}  = 3 \Leftrightarrow 2m + 1 = 9 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

TH2: \(0 < 2m + 1 < 1 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < m < 0.\) Khi đó, nghiệm của \(\left( 1 \right)\) theo thứ tự sẽ là \(\begin{array}{l} - 1, - \sqrt {2m + 1} ,\sqrt {2m + 1} ,\,\,1 \Rightarrow 1 - \sqrt {2m + 1}  = \sqrt {2m + 1}  + \sqrt {2m + 1} \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2m + 1}  = 2\sqrt {2m + 1}  \Leftrightarrow 3\sqrt {2m + 1}  = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1}  = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 2m + 1 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow m =  - \frac{4}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn  C.