Cho x, y là hai số thực khác 0 thỏa mãn:...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tách phương trình dữ kiện đầu bài thành phương trình một vế chứa hằng đẳng thức và một vế chỉ chứa xy. Từ đó tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của xy rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A.

Giải chi tiết:

Ta có \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = 2 + xy\)

    \( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} = 2 + xy\)

\(VT \ge 0 \Rightarrow xy \ge  - 2\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} = \frac{{ - y}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y =  - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\) 

Vậy \({\min _A} = 2016 - 2 = 2014\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Ta có \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{x^2} - xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = 2 - xy\)

     \( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} = 2 - xy\)

\(VT \ge 0 \Rightarrow xy \le 2\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy \({\max _A} = 2016 + 2 = 2018\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Chọn D.