Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\sq...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Phân tích từng vế của phương trình để xuất hiện nhân tử chung

+ Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {x + 1} \)với điều kiện x > 1

+ Đặt \(t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}\) suy ra phương trình ẩn t

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1\)

Ta có: \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1 + 5{\rm{x}} + 5} = 2(2{\rm{x}} - 1) + 7\sqrt {x + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 5\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} = 2\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) + 7\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{x + 1}}}^2} + 5} = 2.\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}\), phương trình trở thành:\(\sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 7\)

Điều kiện \(2t + 7 \ge 0 \Leftrightarrow t \ge - \dfrac{7}{2}\)

Phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = {\left( {2t + 7} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = 4{t^2} + 28t + 49\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{22}}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(t = - 2 \Leftrightarrow - 2 = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = - x + \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện \( - x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi – et, ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 4 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{11}}{2}\)

Chọn C.