Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện ẩn phụ: \(u = x - y + \frac{1}{{x - y}},\;v = x + y\)

Giải chi tiết:

Điều kiện \(x - y \ne 0\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2xy + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 13\\2x + \frac{1}{{x - y}} = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 13\\x - y + x + y + \frac{1}{{x - y}} = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \right] + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y + \frac{1}{{x - y}}} \right)^2} - 8 + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y + \frac{1}{{x - y}}} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 21\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(u = x - y + \frac{1}{{x - y}},\;(\left| u \right| \ge 2)\), \(v = x + y\)

Hệ phương trình trở thành

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{u^2} + 5{v^2} = 21\\u + v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u^2} + 5{v^2} = 21\\u = 3 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {3 - v} \right)^2} + 5{v^2} = 21\\u = 3 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{v^2} - 24v + 15 = 0\\u = 3 - v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}v = 1\\v = \frac{5}{3}\end{array} \right.\\u = 3 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}v = 1\\u = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{3}\\u = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Có u=2, v=1 (Do \(\left| u \right| \ge 2\))

Từ đó, có \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + \frac{1}{{x - y}} = 2\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (1;0)\).

Chọn A