Câu 2(Vận dụng): Cho \(\Delta \)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) + Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn để chứng minh hai tam giác vuông \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) bằng nhau

+Từ hai tam giác vuông bằng nhau ta \(\Rightarrow \widehat{BAH}\text{ }=\widehat{CAH}\)cặp góc tương ứng bằng nhau, khi đó AH là tia phân giác góc B.

b) + Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn để chứng minh hai tam giác vuông\(\Delta \)BDH và \(\Delta \)CEH bằng nhau.

+ Từ hai tam giác vuông bằng nhau ta suy ra hai cạnh tương ứng DH = HE, do đó tam giác  \(\Delta \)HDE cân tại H.

c) Gọi I là giao điểm của AH và DE, chứng minh \(\Delta DIH=\Delta EIH\) (cạnh – góc – cạnh), lập luận để \(\Rightarrow AH\bot DE\)

Sử dụng định lí từ vuông góc đến song song suy ra DE song song với BC.

d) Chứng minh \(\widehat{DHE}={{60}^{0}}\)  suy ra  tam giác cân DHE là tam giác đều.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90{}^\circ \) (gt)

AH cạnh chung

\(AB=AC\) ( do tam giác ABC cân tại A)

 \(\Rightarrow \) \(\Delta \)AHB =\(\Delta \)AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow \widehat{BAH}\text{ }=\widehat{CAH}\) ( hai góc tương ứng)

Do đó AH là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) (đpcm).

b) Chứng minh \(\Delta HDE\) cân:

Xét  \(\Delta \)BDH và \(\Delta \)CEH, có:

\(\widehat{BDH}=\widehat{CEH}={{90}^{0}}(gt)\)

\(BH=HC\) (do tam giác ABC cân, AH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến)

\(\widehat{HBD}=\widehat{HCE}(gt)\)

Vậy \(\Delta \)BDH=\(\Delta \)CEH (cạnh huyền - góc nhọn)\(\Rightarrow \) DH = HE ( hai cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta \)HDE cân tại H. (dhnb)

c) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta AEH\) ta có: \(\left\{ \begin{align}  & AH\ \ chung \\  & DH=HE\left( cmt \right) \\  & \widehat{ADH}=\widehat{AEH}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \Delta ADH=\Delta AEH\ \left( ch-cgv \right).\)

\(\Rightarrow AD=AE\) (hai cạnh tương ứng) \(\Rightarrow \Delta ADE\) cân tại A. (dhnb)

\(\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{E}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có: \(\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}\)  (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left( =\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2} \right)\) mà hai góc này ở vị trí so le trong.

\(\Rightarrow DE//BC\) (đpcm).

d) Chứng minh: \(\Delta HED\) đều

Vì AH là tia phân giác của góc BAC nên  \(\widehat{DAH}=\widehat{CAH}=\widehat{BAC}:2=120{}^\circ :2=60{}^\circ \)

Xét tam giác vuông ADH:

\(\widehat{DHA}={{90}^{0}}-\widehat{DAH}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ \) (hai góc phụ nhau)

Xét tam giác vuông ACH:

\(\widehat{EHA}={{90}^{0}}-\widehat{EAH}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ \) (hai góc phụ nhau)

\(\Rightarrow \) \(\widehat{DHE}=\widehat{DHA}+\widehat{EHA}={{30}^{0}}+{{30}^{0}}={{60}^{0}}\)

Do đó tam giác cân DHE có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều. (dhnb)

Chọn A