Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Xét 2020 số thực ${{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2020}}$ chỉ nhận một trong hai giá trị $2-\sqrt{3}$ và $2+\sqrt{3}$  Hỏi biểu thức $\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}.{{x}_{2k}}}$ nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau.

Đặt: $a=2-\sqrt{3},\ \ b=2+\sqrt{3}.$

Theo đề bài ta có: 

$\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{x_{2k - 1}}{x_{2k}}} = \left[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^{1010} {ab} \\ \sum\limits_{k = 1}^{1010} {{a^2}} \\ \sum\limits_{k = 1}^{1010} {{b^2}} \end{array} \right..$

Ta có: $ab=\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)=4-3=1,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=14.$

$\Rightarrow ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ là các số nguyên.

Có ${{a}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}=7-4\sqrt{3},\ \ {{b}^{2}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=7+4\sqrt{3}.$

$\Rightarrow a,\ b,\ {{a}^{2}},\ {{b}^{2}}$ là các số vô tỷ.

Khi đó biểu thức: $\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}$ gồm chẵn các số hạng và chỉ số $x$ chỉ nhận một trong hai giá trị $a,\ b.$

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\in Z\Leftrightarrow \exists \ 2k\ \ \left( 0\le k\le 505 \right)$ số hạng $ab$ và $\frac{1010-2k}{2}$ số hạng ${{a}^{2}},\ {{b}^{2}}.$

Vì $ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ có giá trị khác nhau nên với mỗi $k$ ta đều tìm được các giá trị nguyên khác nhau của biểu thức.

$\Rightarrow \exists \ \ \frac{505-0}{1}+1=506$ giá trị nguyên khác nhau.