Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2020}}\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(2-\sqrt{3}\) và \(2+\sqrt{3}\)  Hỏi biểu thức \(\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}.{{x}_{2k}}}\) nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau.

Đặt: \(a=2-\sqrt{3},\ \ b=2+\sqrt{3}.\)

Theo đề bài ta có: 

\(\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{x_{2k - 1}}{x_{2k}}} = \left[ \begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {ab} \\
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{a^2}} \\
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{b^2}}
\end{array} \right..\)

Ta có: \(ab=\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)=4-3=1,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=14.\)

\(\Rightarrow ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) là các số nguyên.

Có \({{a}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}=7-4\sqrt{3},\ \ {{b}^{2}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=7+4\sqrt{3}.\)

\(\Rightarrow a,\ b,\ {{a}^{2}},\ {{b}^{2}}\) là các số vô tỷ.

Khi đó biểu thức: \(\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\) gồm chẵn các số hạng và chỉ số \(x\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(a,\ b.\)

\(\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\in Z\Leftrightarrow \exists \ 2k\ \ \left( 0\le k\le 505 \right)\) số hạng \(ab\) và \(\frac{1010-2k}{2}\) số hạng \({{a}^{2}},\ {{b}^{2}}.\)

Vì \(ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) có giá trị khác nhau nên với mỗi \(k\) ta đều tìm được các giá trị nguyên khác nhau của biểu thức.

\(\Rightarrow \exists \ \ \frac{505-0}{1}+1=506\) giá trị nguyên khác nhau.