Phương trình \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta có nhận xét \(\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 2\)

Khi đó đặt  \(\left\{ \matrix{  u = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0 \hfill \cr   v = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow uv = {2^{{{\log }_2}x}} = x\) , đưa về 1 phương trình ẩn u, v  và giải phương trình bằng cách áp dụng phương pháp đưa về phương trình tích.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

Đặt \(u = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0;\,\,\,v = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.\)

Ta có: \(uv = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\left[ {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]^{{{\log }_2}x}} = {2^{{{\log }_2}x}} = x.\)

Khi đó ta có phương trình đã cho trở thành: \(u + \left( {uv} \right)v = {u^2}{v^2} + 1 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) + u{v^2} - {u^2}{v^2} = 0\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) - u{v^2}\left( {u - 1} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {1 - u{v^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  u = 1 \hfill \cr   u{v^2} = 1 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

+) Với \(u = 1 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\)

+) Với \(u{v^2} = 1 \Leftrightarrow uv.v = 1 \Rightarrow v = {1 \over x}\(

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {1 \over x} \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}\left( {{1 \over x}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) =  - {\log _2}x  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {{{\log }_2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) + 1} \right] = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của pt.

Chọn B.